Question

已知在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（2，-5），B（5，1）．在同一個坐標系內畫出滿足下列條件的點（保留畫圖痕跡），并求出該點的坐標．
（1）在y軸上找一點C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x軸上找一點D，使得AD-BD的值最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“兩點之間，線段最短”可以推知，當點A、C、B三點共線時，AC+BC的值最小．所以作B關于y軸的對稱點B′，連結AB′交y軸于點C．利用待定系數法求得A′B直線解析式，則根據解析式即可求得點C的坐標；
（2）根據“三角形兩邊之差小于第三條邊”來找點D：作點B關于x軸的對稱點B₁，連結AB₁延長交x軸于D．當A，B₁，D三點共線時，AD-B₁D=AB₁，此時AD-B₁D有最大值，最大值為AB₁的長度．此時，點D在直線AB₁上．
解答：解：（1）C點如圖1所示（或作B關于y軸的對稱點B′，連結AB′交y軸于點C）．
設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0）．
∵B（5，1），
∴B′（5，-1）．
又∵A（2，-5），
∴，
解得，，
∴AB′直線解析式：y=-x-，
∴點C的坐標為（0，-）；

（2）D點如圖所示，（作點B關于x軸的對稱點B₁，連結AB₁延長交x軸于點D）．
（理由：若A，B₁，D三點不共線，根據三角形兩邊之差小于第三條邊可得：AD-B₁D＜AB₁，所以當A，B₁，D三點共線時，AD-B₁D=AB₁，此時AD-B₁D有最大值，最大值為AB₁的長度．此時，點D在直線AB₁上）
根據題意由A（2，-5），B₁（5，-1）代入可得直線AB₁的解析式為：y=x-，
∴當AD-BD有最大值時，點D的坐標為（，0）．
點評：本題綜合考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，兩點之間線段最短以及三角形的三邊關系等知識點．解題時，注意作圖所依據的公理以及相關圖形的性質．