Question

如圖，D是△ABC的邊BC的中點,過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．

(1)證明：AB＝AC；

(2)證明：點O是△ABC的外接圓的圓心；

(3)當AB＝5，BC＝6時，連接BE，若∠ABE＝90°，求AE的長．

 

Answer 1

解:

(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC． (1分)

在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD． (或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂線．)    (2分)

∴AB＝AC．  (3分)

(2)連BO，∵AD是BC的中垂線，∴BO＝CO．  (或者：證全等也可得到BO＝CO．)

又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．    (4分)

∴點O是△ABC外接圓的圓心．      (5分)

（3）解法1：

∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠ABD=∠AEB．    又∵∠BAD=∠EAB，   ∴△ABD∽△AEB．

∴  (或者：由三角函數得到)      （6分）

在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3，  ∴AD=4． （7分）

∴AE=．   (8分)

解法2：

∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．

∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．

∴∠OBE＝∠OEB， ∴OB＝OE．    (6分)

在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3，∴AD=4．

 設 OB＝x， 則 OD＝4－x，由3²+（4-x)²=x²,解得x=． (7分)

∴AE＝2OB＝．(8分)

解法3：

設AO的延長線與⊙O交于點E₁，則AE₁是⊙O的直徑， ∴∠ABE₁=90°．

在Rt△ABE和Rt△ABE₁中，∵∠BAE＝∠BAE₁，∠ABE＝∠ABE₁＝90°，AB＝AB,

∴△ABE≌△ABE₁，∴AE=AE₁．   (6分)   (同方法2)  ∵BO=． （7分）

∴AE=2OB=． (8分)

 

解析:略