Question

拋物線y=-x²+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=-x²+bx+c經過點A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得點B的坐標，然后設直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數法即可求得直線BC的解析式，再設P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-（a-）²+，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）首先過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，然后分別從點M在EF左側與M在EF右側時去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b′，
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=PD•a+PD•（3-a）
=PD•3
=（-a²+3a）
=-（a-）²+，
∴當a=時，△BDC的面積最大，此時P（，）；

（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，
當M在EF左側時，
∵∠MNC=90°，
則△MNF∽△NCH，
∴，
設FN=n，則NH=3-n，
∴，
即n²-3n-m+1=0，
關于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥，
當M在EF右側時，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x軸于點M，則∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N為點E時，OM=5，
∴m≤5，
綜上，m的變化范圍為：-≤m≤5．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值問題、判別式的應用以及等腰直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．