Question

M為何整數時，9m²+5m+26能分解成兩個連續自然數之積．

Answer 1

【答案】分析：利用根的判別式確定p與q的方程，進而得出所有的可能，注意不要漏解．
解答：解：設對某個自然數k≥0，有9m²+5m+26=k（k-1）將此式整理成關于m的一元二次方程，得9m²+5m-（k²-k-26）=0（1），
因為m為整數，k為自然數，故（1）的判別式△₁=25+36（k²-k-26）=36k²-36k-911，
必為完全平方數，再設36k²-36k-911=p²（p為自然數），則36k²-36k-（p²+911）=0（2），
為使方程（2）的根為自然數，須使（2）的判別式△₂=36²+4×36（p²+911）=12²（p²+920）為完全平方數，
又設p²+920=q²（q為自然數），則
（q+p）（q-p）=920（3），
因為q+p＞q-p＞0，q+p與q-p同奇偶，即它們均為偶數，
從而
解之得：
把p的值代入（2）求得k的值，再把k值代入（1）可求得m值，從而即得m=-1，2，6，-13．
即當m=-1，2，6，-13時，9m²+5m+26能分解成兩個連續自然數之積．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及完全平均數問題，綜合性較強．