Question

如圖，已知?ABCD，AC與BD相交于點E，AF∥BD，FD∥AC．
（1）證明：四邊形AEDF是平行四邊形；
（2）當?ABCD是菱形時，試判定?AEDF是怎樣的特殊平行四邊形，并證明你的結論；
（3）?AEDF可能是正方形嗎？如果可能，指出此時?ABCD是怎樣的特殊平行四邊形，并證明你的結論；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形”進行證明；
（2）根據“有一內角是直角的平行四邊形是矩形”進行解答；
（3）根據“對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形”進行解答．
解答：（1）證明：∵AF∥BD，FD∥AC，
∴AF∥ED，FD∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形；

（2）解：當?ABCD是菱形時，?AEDF是矩形；
理由如下：∵?ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
∴∠AED=90°，
∴?AEDF是矩形；

（3））?AEDF有可能是正方形；理由如下：
∵?AEDF是正方形，
∴AE=ED，AE⊥ED．
∵AE=EC，BE=ED，
∴AC=BD，即?ABCD的對角線AC、BD相等且垂直，
∴?ABCD是正方形．
點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質、正方形與菱形的判定．正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．