Question

【題目】 已知在平面直角坐標系xoy中，二次函數y=-2x+bx+c的圖像經過點A（-3,0）和點B（0,6）。（1）求此二次函數的解析式；（2）將這個二次函數的圖像向右平移5個單位后的頂點設為C，直線BC與x軸相交于點D,求∠sin∠ABD；（3）在第（2）小題的條件下，連接OC，試探究直線AB與OC的位置關系，并且說明理由。

Answer 1

【答案】(1)y=-2x2-4x+6；(2)sin∠ABD=;(3)略.

【解析】

試題（1）把點A、B的坐標代入函數解析式計算求出b、c的值，即可得解；

（2）先求出拋物線的頂點坐標，再根據向右平移橫坐標加，求出點C的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求出與x軸的交點D的坐標，過點A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；

(3)過點C作CP⊥x軸于P，分別求出∠BAO和∠COP的正切值，根據正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根據同位角相等，兩直線平行解答．

試題解析：（1）由題意得， 2×93b+c＝0 c＝6 ，

解得 b＝4 c＝6 ，

所以，此二次函數的解析式為y=-2x2-4x+6；

（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，

∴函數y=2x2-4x+6的頂點坐標為（-1，8），

∴向右平移5個單位的后的頂點C（4，8），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得，

所以，直線BC的解析式為y=x+6，

令y=0，則x+6=0，

解得x=-12，

∴點D的坐標為（-12，0），

過點A作AH⊥BD于H，

OD=12，BD=，

AD=-3-（-12）=-3+12=9，

∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，

∴△ADH∽△BDO，

∴AH:OB ="AD:BD" ，

即AH:6 =9:，

解得AH=，

∵AB=，

∴sin∠ABD=；

(3)過點C作CP⊥x軸于P，

由題意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，

∴tan∠COP==2，

tan∠BAO==2，

∴tan∠COP=tan∠BAO，

∴∠BAO=∠COP，

∴AB∥OC．