Question

拓展與探索：
如圖，在正△ABC中，點E在AC上，點D在BC的延長線上．

（1）如圖（1），AE=EC=CD，求證：BE=ED；
（2）若E為AC上異于A、C的任一點，
①當AE=CD時，如圖（2），（1）中結論是否仍然成立？為什么？
②當EC=CD時呢？
（3）若E為AC延長線上一點，且AE=CD，試探索BE與ED間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的三線合一的性質可得∠EBC=30°，在△ECD中，易得∠D=30°，∴∠EBC=∠D，∴BE=ED；（2）①過點E作EF∥BC，交AB于F，可證明△EFB≌△DCE（SAS），∴BE=ED；②如果EC=CD，則∠D=30°，而只有E為中點時，∠EBC=30°，當E為AC上異于A、C的任一點，∠EBC＞30°或＜30°，大角對大邊可得BE＜ED或BE＞ED；（3）過點E作EF∥AB，交CD于F，可得△CEF是等邊三角形，∴CF=CE=EF，又AE=CD，∴AC=FD，即BC=FD，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=ED．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AE=CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC=30°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ECD=120°，
又∵CE=CD，
∴∠D=∠CED=30°，
∴∠EBC=∠D=30°，
∴BE=ED（等角對等邊）；
（2）
①過點E作EF∥BC，交AB于F，
∵△ABC是等邊三角形，AE=CD，
∴△AEF是等邊三角形，AF=AE=EF=CD，
∴∠BFE=∠ECD=120°，BF=EC，
在△EFB和△DCE中

EF=CD ∠BFE=∠ECD BF=EC

∴△EFB≌△DCE（SAS），
∴BE=ED；
②∵EC=CD，
∴∠D=30°，
由（1）可知只有E為中點時，∠EBC=30°，
∴當E為AC上異于A、C的任一點，∠EBC＞30°或＜30°，
∴BE＜ED或BE＞ED（大角對大邊）
即當EC=CD時，（1）中的結論不成立；
（3）
結論：BE=ED．
證明：過點E作EF∥AB，交CD于F，可得△CEF是等邊三角形，
∴CF=CE=EF，
又∵AE=CD，
∴AE-CE=CD-CF，
即AC=FD，
又∵AC=BC，
∴BC=FD，
在△BCE和△DFE中，

CE=FE ∠BCE=∠DFE=180°-60°=120° BC=FD

∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=ED．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明三角形全等的關鍵是作輔助線．