Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=80，BC=100．線段BC所在的直線以每秒2個單位的速度沿BA方向運動，并始終保持與原位置平行，交AB于點D，交AC于點E．解答下列問題：
（1）求AC的長．
（2）記x秒時，該直線在△ABC內的部分DE的長度為y，試求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）如圖2，過點D作DG⊥BC于點G，過點E作EF⊥BC于點F，當x為何值時，矩形DEFG的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）AC的長可由勾股定理直接求解出；
（2）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由相似三角形對應邊成比例的性質即可求出y與x之間的函數關系式，由AD的長必大于零可確定自變量的取值范圍；
（3）通過相似三角形各邊的對應關系，可先把要求矩形的面積轉化成其中一邊的函數，對函數求最值即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=80，BC=100
∴AC===60
即AC的長是60．

（2）根據題意，得：DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴=
∵DE=y，AD=AB-BD=80-2x
∴=（7分）
∴y=-x+100（0＜x＜40）

（3）過點A作AM⊥BC于點M，交DE于N點，如圖
∵四邊形DEFG是矩形
∴DE∥BC
∴△ADN∽△ABM
∴=
由（2）=，得=
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM⊥BC
∴S_Rt△ABC=•AB•AC=•BC•AM
∴AM===48
AN=AM-MN=48-DG
∴=
∴DE=-DG+100，
∴S_矩形DEFG=DE•DG
=（-DG+100）•DG
=-+100DG
=-（DG²-48DG）
=-（DG²-48DG+24²-24²）
=-（DG-24）²+1200
∴當DG=24時，矩形DEFG的面積最大，最大值是1200．
∴DE=-×12+100=75
由（2）DE=y，y=-x+100，得：-x+100=75
解得：x=10
經檢驗：x=10符合題意
綜上所述，當x=10時，矩形DEFG的面積最大，最大值1200．
點評：本題考查知識點多，綜合性強，是近年來中學數學試題主要的出題形式，要求學生有扎實的相關知識的基本功，及分析問題解決問題的能力．