Question

如圖，梯子AB斜靠在墻上，∠ACB=90°，AB=5米，BC=4米，當點B下滑到點B′時，點A向左平移到點A′．設BB′=x米（0＜x＜4），AA′=y米．
（1）用含x的代數式表示y；
（2）當x為何值時，點B下滑的距離與點A向左平移的距離相等？
（3）請你對x再取幾個值，計算出對應的y值，并比較對應的y值與x值的大小（y值可以用精確到0.01的近似數表示，也可用無理數表示）．
（4）根據第（1）～（3）題的計算，還可以結合畫圖、觀察，推測y與x的大小關系及對應的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在梯子滑動的過程中，梯子的長不會發生變化，可分別用x、y表示出B′C、A′C的長，進而由勾股定理求得x、y的函數關系式；
（2）令（1）的函數關系式中x=y，即可求得此時x的值；
（3）根據（1）的函數關系式進行求解即可；
（4）根據（2）、（3）的數據即可判斷出（1）所得函數在不同區間的增減性．

解答：解：（1）在Rt△A′CB′中，B′C=4-x，則A′C=

25-((4-x)2

，所以y=

25-(4-x)2

-3；

（2）由題意得解之得

25-(4-x)2

-3=x，x₁=1，x₂=0（舍去），
所以當x=1時，點B下滑的距離與點A向左平移的距離相等；

（3）提供下列數據供參考：

x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
y	0.13	0.25	0.36	0.47	0.57	0.67	0.76	0.84	0.92	1.00
x	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2
y	1.07	1.14	1.21	0.27	0.33	0.39	0.44	1.49	1.54	1.58
x	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	3
y	1.62	1.66	1.70	1.74	1.77	1.80	1.83	1.85	1.88	1.90
x	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.6	3.7
y	1.92	1.94	1.95	1.96	1.97	1.98	1.99

x	1 2	1 3	2	3
y	51 2 -3	2 26 3 -3	21 -3	2 6 -3

（4）當0＜x＜1，y＞x；當x=1時，y=x；當1＜x＜4時，y＜x．

點評：此題主要考查了勾股定理的實際應用，利用好梯子在滑動過程中長度不變的隱含條件是解答此題的關鍵．