Question

在△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD=12，能完全覆蓋△ABC的圓的半徑R的最小值為

 

．

Answer 1

分析：分兩種情況：如果△ABC是銳角三角形或鈍角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓必然是△ABC的外接圓．因而求外接圓的半徑即可，為此，作過B點作△ABC的外接圓直徑BE，連接AE．在△BAE與△ADC中，根據同弧所對的圓周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可證得△BAE∽△ADC．根據相似三角形的性質，求得直徑BE的長，那么半徑R即可知．

解答：解：分兩種情況：
①如果△ABC是銳角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓必然是△ABC的外接圓，
連接BO，并延長交△ABC的外接圓O于點E，并連接AE，
則∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴

BE

AC

=

AB

AD

，
即 BE=

AB

AD

•AC=

15

12

•13=

65

4

，
又∵BE是⊙O的直徑，
∴BO=

1

2

BE=

65

8

；
②如果△ABC是鈍角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓為最長邊AB的一半，
故R=

15

2

=7.5．
故答案為：7.5或

65

8

．

點評：本題考查三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是添加輔助線，構造相似三角形，根據對應邊的比相等求得直徑BE的長．