Question

在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記啊！

（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由拋物線過點，，則

　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　              

 解這個方程組，得 ．

　　　　　　∴二次函數的關系表達式為．            

        （2）設點P坐標為，則．

             連接，作軸于M，軸于N．

            ，，．

            當時，，所以．　　 

　　　　　　

     

     

                                                           

             ∵＜0，

             ∴函數有最大值．                         

             當時，有最大值．

             此時   

             存在點，使的面積最大．                

         （3）點．　　　　             

         （4）點．                                  

         （5）點