Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．
（1）求證：CA是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判斷CA是圓的切線；
（2）根據銳角三角函數的定義得到tan∠AEC=，tan∠ABC=，推出AC=EC，BC=AC，代入BC-EC=BE即可求出AC，進一步求出BC即可．
解答：（1）證明：∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=，
∴=，
EC=AC，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，
∴=，
BC=AC，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴，
解得：AC=，
∴BC=×=10，
答：圓的直徑是10．
點評：本題主要考查對銳角三角函數的定義，解直角三角形，切線的判定，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能證明是圓的切線是解此題的關鍵．