Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點，且PQ=3，當CQ=    時，四邊形APQE的周長最小．

Answer 1

【答案】分析：點A向右平移3個單位到M，點E關于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，證△MNQ∽△FCQ即可．
解答：解：點A向右平移3個單位到M，點E關于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，
此時MQ+EQ最小，
∵PQ=3，DE=CE=2，AE==2，
∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ=MQ+EQ過M作MN⊥BC于N，
設CQ=x，則NQ=8-3-x=5-x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴=
∵MN=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=5-x，
解得：x=，則CQ=
故答案為：．
點評：本題考查了矩形的性質，勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，題目具有一定的代表性，但是一道難度偏大的題目，對學生提出較高的要求．