Question

學習了函數的知識后，數學活動小組到文具店調研一種進價為每支2元的活動筆的銷售情況。調查后發現，每支定價3元，每天能賣出100支，而且每支定價每下降0.1元，其銷售量將增加10支。但是物價局規定，該活動筆每支的銷售利潤不能超過其進價的40%。設每支定價x元，每天的銷售利潤為y元。
（1）求每天的銷售利潤為y與每支定價x之間的函數關系式；
（2）如果要實現每天75元的銷售利潤，那么每支定價應為多少元？
（3）當每支定價為多少元時，可以使這種筆每天的銷售利潤最大？

Answer 1

（1）y=﹣100x²+600x﹣800；（2）2.5；（3）2.8.

試題分析：（1）根據題意可求出y與每支定價x之間的函數關系式；
（2）設商品的定價為x元，由這種商品的售價每下降0.1元，其銷售量就增加10支，列出等式求得x的值即可；
（3）設利潤為y元，列出二次函數關系式，在售價不超過其進價的40%的范圍內求得利潤的最大值．
試題解析：（1）（100+），
由題意得，y=（x﹣2）（100+）
=﹣100x²+600x﹣800
（2）當y=75時，
﹣100（x﹣3）²+100=75，
解得：x=2.5或x=3.5，
∵售價不能超過進價的40%，
∴x≤2×（1+40%），
即x≤2.8，
故x=2.5，
當定價為2.5元時，能實現每天75元的銷售利潤；       6分
（3）由（1）得y=﹣100（x﹣3）²+100，
∵﹣100＜0，
∴函數圖象開口向下，且對稱軸為x=3，當x＜3時，y隨x的增大而增大
∵x≤2.8，
故當x=2.8時函數能取最大值，
考點: 二次函數的應用.