Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；
（2）若點P在線段AB上．
①如圖2，連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；
②如圖3，設AB=a，BP=b，當EP平分∠AEC時，求a：b及∠AEC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，

∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，

，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC

（2）

解：①∵P為AB的中點，

∴PA=PB，又PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a

∵PE∥CF，

∴ ，即 = ，

解得，a= b；

作GH⊥AC于H，

∵∠CAB=45°，

∴HG= AG= ×（2 b﹣2b）=（2﹣ ）b，又BG=2b﹣a=（2﹣ ）b，

∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，

∴∠HCG=∠BCG，

∵PE∥CF，

∴∠PEG=∠BCG，

∴∠AEC=∠ACB=45°．

∴a：b= ：1；∴∠AEC=45°．

【解析】（1）根據正方形的性質和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE，根據全等三角形的性質證明結論；（2）①根據正方形的性質、等腰直角三角形的性質解答；②根據PE∥CF，得到 ，代入a、b的值計算求出a：b，根據角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG，證明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度數．