Question

設直線l₁：y₁=k₁x+b₁與l₂：y₂=k₂x+b₂，若l₁⊥l₂，垂足為H，則稱直線l₁與l₂是點H的直角線．
（1）已知直線①；②y=x+2；③y=2x+2；④y=2x+4和點C（0，2）．則直線______ 和______是點C的直角線（填序號即可）；
（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l₁，過A、P兩點的直線為l₂，若l₁與l₂是點P的直角線，求直線l₁與l₂的解析式．

Answer 1

解：（1）由題意得：直線①與直線③是點C的直角線；

（2）設P坐標為（0，m），
∵l₁與l₂是點P的直角線，
∴PB⊥PA于點P，
又已知，AB²=（3-2）²+7²=50，PA²=PO²+OA²=m²+3²，PB²=PC²+BC²=（7-m）²+2²，
∴AB²=PA²+PB²=m²+3²+（7-m）²+2²=50，
解得：m₁=1，m₂=6，
則當m=1時，l₁為：y₁=3x+1，l₂為：y₂=-x+1；當m=6時，l₁為：y₁=x+6，l₂為：y₂=-2x+6．
分析：（1）先將C坐標代入排除④，找出其他三條直線的斜率分別為-，1，2，由直線①與直線③的斜率乘積為-1，得到這兩直線垂直，可得出直線①與直線③是點C的直角線；
（2）由P在OC上，設P坐標為（0，m），根據l₁與l₂是點P的直角線，根據題意得到PA與PN垂直，利用兩點間的距離公式求出AB²，表示出PA²與PB²，利用勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出直線l₁與l₂的解析式．
點評：此題考查了一次函數綜合題，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．