Question

【題目】如圖，一條拋物線經過原點和點C（8，0），A、B是該拋物線上的兩點，AB∥x軸，點A坐標為（3，4），點E在線段OC上，點F在線段BC上，且滿足∠BEF=∠AOC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若四邊形OABE的面積為14，求S△ECF；

（3）是否存在點E，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在點E，點E的坐標為(2，0)或(3，0) 或(，0)

【解析】試題分析：（1）根據題意可設該拋物線的解析式為：y=ax（x-8）（a≠0）．然后將點A的坐標代入求值即可；

（2）先求出由相似三角形△AOE∽△ECF，求得面積比等于相似比的平方，則易求△ECF的面積；

（3）需要分類討論：當AE=EF、AF=EF和AE=AF時，分別求得點E的坐標．

試題解析：

（1）設拋物線解析式為，

把A（3，4）代入得：

∴

∴拋物線解析式為，即

（2）∵AB∥x軸

∴四邊形OABC關于拋物線對稱軸對稱

∴∠AOC=∠BCO，∴B（5，4）

∴AB=2，BC=OA=5

∵四邊形OABE的面積為14

∴OE=5

∴CE=3，BE=4

∴

∵∠BEF=∠AOC=∠BCO, ∠EBF=∠CBE

∴△BEF∽△BCE

∴

即

∴

(3)存在點E使得△BEF為等腰三角形

當BE=BF時，則∠BEF=∠BFE

∵∠BEF=∠ACO=∠BCO

∴∠BFE=∠BCE

∴EF與EC重合

∴∠BEC=∠BEF=∠AOC

∴OA∥BE

∵AB∥x軸

∴OE=AB=2

∴E(2，0)

當EB=EF時,則∠EBF=∠EFB

∵△BEF∽△BCE

∴∠BEC=∠BFE

∴∠BEC=∠EBF

∴EC=BC=5

∴OE=OC-EC=8-5=3

∴E(3，0)

當FB=FE時，則∠FBE=∠FEB

∴∠BCO=∠FEB=∠FBE

∴BE=EC，即點E在BC的中垂線上

過E作EM⊥BC，垂足為M；過A作AN⊥OC，垂足為N，

則CM= ,ON=3，OA=5

∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠

∴△AON∽△ECM

∴ 即

∴EC=

∴OE=OC-EC=

∴E(，0)

∴綜上所述，存在點E，點E的坐標為(2，0)或(3，0) 或(，0)