Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象與y軸的正半軸交于點A，與x軸交于點B（2，0），三角形△ABO的面積為2．動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在射線OB上運動，動點Q從B出發，沿x軸的正半軸與點P同時以相同的速度運動，過P作PM⊥X軸交直線AB于M．

（1）求直線AB的解析式．

（2）當點P在運動時，設△MPQ的面積為S，點P運動的時間為t秒，求S與t的函數關系式（直接寫出自變量的取值范圍）．

（3）過點Q作QN⊥X軸交直線AB于N，在運動過程中（P不與B重合），是否存在某一時刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出時間t值．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=﹣x+2；（2）t=或4時，△MNQ是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）根據三角形的面積求出OA，再寫出點A的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答；

（2）根據等腰直角三角形的性質表示出PM，再求出PQ的長，然后利用直角三角形的面積公式列式整理即可得解；

（3）表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM2，再求出MN，然后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三種情況列出方程求解即可．

試題解析：解：（1）∵點B（2，0），∴OB=2，∴S△ABO=OBOA=×2OA=2，解得OA=2，∴點A（0，2），設直線AB的解析式為y=kx+b，則： ，解得： ，∴直線AB的解析式為y=﹣x+2；

（2）∵OA=OB=2，∴△ABO是等腰直角三角形，∵點P、Q的速度都是每秒1個單位長度，∴PM=PB=OB﹣OP=2﹣t，PQ=OB=2，∴△MPQ的面積為S=PQPM=×2×（2﹣t）=2﹣t，∵點P在線段OB上運動，∴0＜t＜2，∴S與t的函數關系式為S=2﹣t（0＜t＜2）；

（3）t秒時，PM=PB=|2﹣t|，QN=BQ=t，所以，QM2=PM2+PQ2=（2﹣t）2+4，MN=（QN﹣PM）=（t﹣t﹣2）=．

①若MN=QN，則t=；

②若MN=QM，則（2﹣t）2+4=（）2，整理得，t2﹣4t=0，解得t1=0（舍去），t2=4；

③若QN=QM，則（2﹣t）2+4=t2，理得，4t﹣8=0，解得t=2，此時點P在與點B重合，不合題意舍去．

綜上所述，t=或4時，△MNQ是等腰三角形．