Question

將一副三角板如圖拼接：含30°角的三角板（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角板（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一個動點，連接DP．
（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，求DP的長；
（2）當點P在運動過程中出現(xiàn)PD=BC時，求此時∠PDA的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°
∴BC=，AC=3．
如圖（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD=CD
∴DF=AF=CF=，
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC=30°
∴CP=BC•tan30°=1
∴PF=
∴DP==．

（2）當P點位置如圖（2）所示時，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=，∠ADF=45°
又PD=BC=
∴cos∠PDF==
∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
當P點位置如圖（3）所示時，
同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
分析：（1）作DF⊥AC，在直角△BCP中，求得PC的長，而PF=CF-PC，則PF的長可以求得，然后在直角△DFP中利用勾股定理即可求解；
（2）作DF⊥AC，則P可以在F的左右兩邊，分兩種情況進行討論，與（1）的解法相同．
點評：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系．