Question

【題目】直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A、點C，拋物線經過點A、點C，且與x軸的另一個交點為B（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為第一象限內拋物線上的一動點．

①如圖1，若CD=AD，求點D的坐標；

②如圖2，BD與AC交于點E，求S△CDE：S△CBE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①D（，）；②S△CDE：S△CBE的最大值為．

【解析】分析：（1）先求出A、C的坐標，再利用待定系數法求出函數的解析式；

（2）①根據等腰直角三角形的性質，確定點D的在y=x上，設出點D的坐標，代入y=﹣x2+x+2即可得到函數的解析式；

②作DF∥y軸交AC于F，BG∥y軸交直線AC于G，證得△DEF∽△BEG，然后根據相似三角形的面積比與相似比的關系，設出D點的坐標（t，﹣t2+t+2），再根據相似比的性質和二次函數的最值求解即可.

詳解：（1）當x=0時，y=﹣x+2=2，則C（0，2），

當y=0時，﹣x+2=0，解得x=2，則A（2，0），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，2）代入得a1（﹣2）=2，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2），

即y=﹣x2+x+2；

（2）①∵OA=OC，

∴△OAC為等腰直角三角形，

∵DC=DA，

∴點D在AC的垂直平分線上，

即點D在直線y=x上，

設D（m，m）（m＞0），

把D（m，m）代入y=﹣x2+x+2得﹣m2+m+2=m，解得m1=，m2=﹣（舍去），

∴點D的坐標為（，）；

②作DF∥y軸交AC于F，BG∥y軸交直線AC于G，如圖2，

∵DF∥BG，

∴△DEF∽△BEG，

∴=，

∵S△CDE：S△CBE=，

∴S△CDE：S△CBE=，

當x=﹣1時，y=﹣x+2=3，則G（﹣1，3），

設D（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜2），則F（t，﹣t+2），

∴DF=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，

∴S△CDE：S△CBE===﹣（t﹣1）2+，

∴當t=1時，S△CDE：S△CBE的最大值為．