Question

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的頂點在直線y=-

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x-1上，且過點A（4，0）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為P，是否在拋物線上存在一點B，使四邊形OPAB為梯形？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設點C（1，-3），請在拋物線的對稱軸確定一點D，使|AD-CD|的值最大，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法就可以求出這個拋物線的解析式，拋物線解析式為y=

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x2-2x；
（2）在拋物線上存在一點B，使四邊形OPAB為梯形．當AP∥OB時，過點B作BH⊥x軸于H，則OH=BH，設點B（x，x），求出x=6，所以B（6，6）；
（3）在拋物線的對稱軸確定一點D，使|AD-CD|的值最大，點C的坐標是（1，-3），要滿足|AD-CD|的值最大，則點D的坐標（2，-6）．

解答：解：（1）∵拋物線過點（0，0）、（4，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．（1分）
∵頂點在直線y=-

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x-1上，
∴頂點坐標為（2，-2）．（3分）
故設拋物線解析式為y=a（x-2）²-2，
∵過點（0，0），
∴a=

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，
∴拋物線解析式為y=

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x2-2x；（5分）

（2）當AP∥OB時，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點B作BH⊥x軸于H，則OH=BH．
設點B（x，x），
故x=

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x2-2x，
解得x=6或x=0（舍去）（6分）
∴B（6，6）．（7分）
當OP∥AB′時，同理設點B′（4-y，y）
故y=

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(4-y)2-2(4-y)，
解得y=6或y=0（舍去），
∴B′（-2，6）；（8分）
∴B的坐標為（6，6）或（-2，6）．

（3）D坐標應是（2，-6）．（10分）

點評：本題是把求最值的問題轉化為函數問題，利用函數的性質求解．