Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長是2．O為坐標原點，點A在x的正半軸上，點C在y的正半軸上．一條拋物線經過A點，頂點D是OC的中點．

（1）求拋物線的表達式；
（2）正方形OABC的對角線OB與拋物線交于E點，線段FG過點E與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于F，G點，試比較線段OE與EG的長度；
（3）點H是拋物線上在正方形內部的任意一點，線段IJ過點H與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于I、J點，點K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請證明△OHI≌△JKC．

Answer 1

（1）
（2）OE=EG
（3）證明略

解：(1)由題意，設拋物線的解析式為:.…………1分
將點D的坐標(0,1),點A的坐標(2,0)代入,得
a =，b=1.
所求拋物線的解析式為.…………………3分
(2)由于點E在正方形的對角線OB上,又在拋物線上,
設點E的坐標為(m,m)(),則.  
解得 (舍去).………4分
所以OE=.………………………5分
所以.
所以OE="EG. " ……………………………………6分
(3)設點H的坐標為(p,q)(,),
由于點H在拋物線上,
所以,即.
因為,…8分
所以OH=2–q.
所以OK=OH=2–q.
所以CK=2－(2－q)="q=IH.         " ……………………………………9分
因為CJ="OI," ∠OIH=∠JCK=90º,
所以△OHI≌△JKC.…………………………10分