Question

【題目】⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在直線AB上．
（1）如圖（1），已知∠BCD=∠BAC，求證：CD是⊙O的切線；
（2）如圖（2），CD與⊙O交于另一點E．BD：DE：EC=2：3：5，求圓心O到直線CD的距離；
（3）若圖（2）中的點D是直線AB上的動點，點D在運動過程中，會出現C，D，E在三點中，其中一點是另外兩點連線的中點的情形，問這樣的情況出現幾次？

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖（1），連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，

∴△BCD∽△EAD，

∴ ，

∴ ，

又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半徑為5，

∴BD=2，DE=3，EC=5，

如圖（2），連接OC、OE，則△OEC是等邊三角形，

作OF⊥CE于F，則EF= CE= ，∴OF= ，

∴圓心O到直線CD的距離是 ．

（3）解：這樣的情形共有出現三次：

當點D在⊙O外時，點E是CD中點，有以下兩種情形，如圖1、圖2；

當點D在⊙O內時，點D是CE中點，有以下一種情形，如圖3．

【解析】（1）連接OC，根據弦切角定理和圓的性質可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，結合圓周角定理可求得∠OCD=90°，可證明CD是切線；（2）先證明△BCD∽△EAD，結合條件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距離；（3）分點D在⊙O外和點D在⊙O內兩種情況，當D在⊙O外時又分D在A點左邊和D在B點右邊兩種情況，當D在⊙O內時只有一種，結合圖形可給出答案．