Question

已知Rt△ABC外切于⊙O，E、F、H為切點，∠ABC=90°，直線FE、CB相交于D點，連接AO、HE、HF，則下列結論：①∠EFH=45°；②∠FEH=45°+∠FAO；③BD=AF；④DH²=AO•DF．其中正確結論的個數為（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：連接OE，OH，OF，OB，
①由切線的性質和四邊形的內角和即可判定；
②同①的方法得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圓周角定理即可得到證明結論正確；
③根據已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后即可題目結論；
④根據已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據相似三角形的對應邊成比例和已知條件即可證明結論正確．
解答：解：①中，連接OE，OH，
則OE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠EOH=90°，
∴∠EFH=∠EOH=45°，正確；

②中，同①的方法得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根據圓周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO，正確；

③中，連接OF，由①得四邊形OEBH是正方形，則圓的半徑=BE，
即OF=BE，
又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
則△BDE∽△FAO，
得BD=AF，正確；

④中，連接OB，根據兩個角對應相等得△DFH∽△ABO，則DH•AB=AO•DF，又AB=DH，所以結論正確．
故選D．
點評：此題綜合運用了切線的性質定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質和判定，綜合性比較強．