Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，點E是AB上一點，直線CE交⊙O于點F，連接BF，與直線CD交于點G．求證：BC²=BG•BF．

Answer 1

分析：結合圖形，可以把所要證明的線段放到△CBG和△FBC中，兩個三角形中已經有一個公共角，只需進一步證明∠BCG=∠F，根據等角的余角相等和圓周角定理，借助中間角∠A即可證明．

解答：證明：∵AB是⊙O的直徑，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．
∴∠F=∠BCD．
在△BCG和△BFC中，

∠BCG=∠F ∠GBC=∠CBF

，
∴△BCG∽△BFC．
∴

BC

BF

=

BG

BC

．
即BC²=BG•BF．

點評：熟練運用等角的余角相等和圓周角定理發現∠BCG=∠A，掌握相似三角形的判定和性質．