Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-2 與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0）．點M、N在x軸上，點N在點M右側，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設點M的橫坐標為m．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式．
（2）求點C在這條拋物線上時m的值．
（3）將線段CN繞點N逆時針旋轉90°后，得到對應線段DN．
①當點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標．
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（，））

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-1，0）、B（4，0）兩點的坐標代入y=ax²+bx-2，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據等腰直角三角形的性質求出點C的坐標為（m，2），再將C的坐標代入y=x²-x-2，即可求出m的值；
（3）①先由旋轉的性質得出點D的坐標為（m，-2），再根據二次函數的性質求出拋物線y=x²-x-2的對稱軸為直線x=，然后根據點D在直線x=上，即可求出點D的坐標；
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE時，分別以D、N為直角頂點，在DN的兩側分別作出等腰直角三角形DNE，E點的位置分四種情況討論．針對每一種情況，都可以先根據等腰直角三角形的性質求出點E的坐標，然后根據點E在直線x=上，列出關于m的方程，解方程即可求出m的值．
解答：解：（1）∵拋物線經過點A（-1，0）、B（4，0），
∴
解得
∴拋物線所對應的函數關系式為y=x²-x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴點C的坐標為（m，2），
∵點C（m，2）在拋物線上，
∴m²-m-2=2，
解得m₁=，m₂=．
∴點C在這條拋物線上時，m的值為或；

（3）①∵將線段CN繞點N逆時針旋轉90°后，得到對應線段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，
∴CD=CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴點D的坐標為（m，-2）．
又∵拋物線y=x²-x-2的對稱軸為直線x=，點D在這條拋物線的對稱軸上，
∴點D的坐標為（，-2）；

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點的位置有四種情況：
如果E點在E₁的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），MN=ME₁=2，點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₁的（m-2，0），
∵點E₁在拋物線y=x²-x-2的對稱軸x=上，
∴m-2=，解得m=；
如果E點在E₂的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₂的（m+2，-4），
∵點E₂在拋物線y=x²-x-2的對稱軸x=上，
∴m+2=，解得m=-；
如果E點在E₃的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），
∴點E₃的（m，2），
∵點E₃在拋物線y=x²-x-2的對稱軸x=上，
∴m=；
如果E點在E₄的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₄的（m+4，-2），
∵點E₄在拋物線y=x²-x-2的對稱軸x=上，
∴m+4=，解得m=-；
綜上可知，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，所有符合條件的m的值為m=-或m=-或m=或m=．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求拋物線的解析式，二次函數的性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質等知識，綜合性較強，難度適中．其中（3）②要注意分析題意分情況討論E點可能的位置，這是解題的關鍵．