Question

如圖，已知反比例函數y=

k

x

(k≠0)的圖象經過點（

1

2

，8），直線y=-x+b經過該反比例函數圖象上的點Q（4，m）．
（1）求上述反比例函數和直線的函數表達式；
（2）設該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數圖象的另一個交點為P，連接0P、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）把點（

1

2

，8）代入反比例函數y=

k

x

(k≠0)，確定反比例函數的解析式為y=

4

x

；再把點Q（4，m）代入反比例函數的解析式得到Q的坐標，然后把Q的坐標代入直線y=-x+b，即可確定b的值；
（2）把反比例函數和直線的解析式聯立起來，解方程組得到P點坐標；對于y=-x+5，令y=0，求出A點坐標，然后根據S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ進行計算即可．

解答：解：（1）把點（

1

2

，8）代入反比例函數y=

k

x

(k≠0)，得k=

1

2

×8=4，
∴反比例函數的解析式為y=

4

x

；
又∵點Q（4，m）在該反比例函數圖象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q點的坐標為（4，1），
而直線y=-x+b經過點Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直線的函數表達式為y=-x+5；

（2）聯立

y=-x+5 y= 4 x

，
解得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P點坐標為（1，4），
對于y=-x+5，令y=0，得x=5，
∴A點坐標為（5，0），
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．

點評：本題考查了點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式以及求兩個圖象交點的方法（轉化為解方程組）；也考查了利用面積的和差求圖形面積的方法．