Question

如圖，把矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與A重合．
（1）只使用直尺和圓規，作出折痕EF，其與AD交于F，BC于E，并作出點D的對應點D′．
（2）連接AE、CF，猜想四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．
（3）當AB=12，AD=18時，求折痕EF長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，作AC的垂直平分線，延長CD交垂直平分線于G，連接AG，在AG上截取AD′=CD即可；
（2）先證明△AOF≌△COE，得到AF∥CE，AF=CE，從而判斷出四邊形AECF為平行四邊形，再根據AF=CF判斷出四邊形AECF為菱形．
（3）在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長，從而在Rt△ABC中求出EO的長．
解答：解：（1）

（2）如圖，∵∠AOF=∠COE，AO=CO，∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．
故AF∥CE，AF=CE，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
又因為AF=CF，
所以四邊形AECF為菱形．

（3）設BE=x，則EC=AE=18-x，
故在Rt△ABE中，（18-x）²=x²+12²，
解得，x=5．
∵菱形對角線互相平分，
∴AO=CO，
在Rt△ABC中，
AC==6，
AO=3，
EO²=AE²-AO²=13²-（3）²=52，
∴EO=2，
∴EF=4．
點評：此題將翻折不變性、勾股定理、菱形的判定和性質及作圖有機結合在一起，綜合性較強，考查知識點全面，有一定難度．