Question

【題目】如圖，矩形AOCB的頂點B在反比例函數，x＞0）的圖像上，且AB=3，BC=8．若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位長度的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位長度的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．

（1）求反比例函數的表達式．

（2）當t=1時，在y軸上是否存在點D，使△DEF的周長最小？若存在，請求出△DEF的周長最小值；若不存在，請說明理由．

（3）在雙曲線上是否存在一點M，使以點B、E、F、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出滿足條件t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，t=或t=2

【解析】

（1）根據AB與BC的長，且B為第一象限角，確定出B的坐標，代入反比例函數解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；

（2）運動1秒時，在y軸上存在點D，使△DEF的周長最小，理由為：作出E關于y軸的對稱點E′，連接E′F，與y軸交于點D，連接DE，EF，此時△DEF周長最小，求出周長最小值即可；

（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，由題意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．分BF為對角線，BE為對角線，EF為對角線時，建立方程求解即可得出結論．

解：（1）由題可知點B的坐標為(3，8)，且點B在y＝上．

∴k=3×8=24，

∴反比例函數的表達式為：y＝．

（2）t=1時，E（1，8），F（3，6），則EF＝，

取E關于y軸的對稱E′(-1，8)，

連接E′F，E′F＝，△DEF的周長＝DE+DF+EF＝+DE′+DF≥2+E′F，

∴△DEF的周長的最小值＝2+2，

此時點D為E′F與y軸交點，

∵E′(-1，8)，F(3，6)，

設E′F：y=kx+b，

則，

解得，

∴E′F：y＝，

∴此時D(0，)，

即：y軸上存在點D(0，)，使△DEF周長最小，且最小值為2+2．

（3）存在，若四邊形BEMF為平行四邊形，由題意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．

①當BF是對角線時，BE//FM，此時M在F右側，M(，82t)，

又∵BE=FM，

∴3t＝3，t2-10t+12=0，

解得t1＝5，t2＝5+（舍）．

②當BE為對角線時，BF//EM，此時M在E正上方，Mt(t，)，

∵ME=BF，

∴8＝2t，t2+4t-12=0，

解得t1=2，t2=-6（舍）．

③EF為對角線時，明顯，點M不在雙曲線上．

故綜上：t=2或5．