Question

已知a是正整數，如果關于x的方程x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0的根都是整數，求a的值及方程的整數根．

Answer 1

分析：先將原方程的左邊分解因式，然后根據“兩個數的乘積是0，其中最少有一個因式是0的”原則來分析；最后由二次方程的根的判別式及整數的奇偶性來解答．

解答：解：將方程的左邊分解因式，得（x-1）【x²+（a+18）x+56】=0，觀察易知，方程有一個整數根x₁=1，
∵a是正整數，
∴關于x的方程x²+（a+18）x+56=0（1）的判別式△=（a+18）²-224＞0，它一定有兩個不同的實數根．
而原方程的根都是整數，所以方程（1）的根都是整數，因此它的判別式△=（a+18）²-224應該是一個完全平方數．
設（a+18）²-224=k²（其中k為非負整數），則（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以

a+18+k=112 a+18-k=2

或

a+18+k=56 a+18-k=4

或

a+18+k=28 a+18-k=8

解得

a=39 k=55

或

a=12 k=26

或

a=0 k=10

而a是正整數，所以只可能

a=39 k=55

或

a=12 k=26.

當a=39時，方程（1）即x²+57x+56=0，它的兩根分別為-1和-56．此時原方程的三個根為1，-1和-56．
當a=12時，方程（1）即x²+30x+56=0，它的兩根分別為-2和-28．此時原方程的三個根為1，-2和-28

點評：本題綜合考查了一元二次方程的整數根與有理根、因式分解的應用、一元二次方程的解與根的判別式等知識點，是難度比較大的一道題，在解題時，要分類討論，勿漏解．