Question

【題目】如圖，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以點O為圓心，6為半徑的優弧弧MN分別交OA、OB于點M，N．

（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉80°得，求證：AP＝BP；

（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；

（3）設點Q在優弧弧MN上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）當∠BOQ的度數為10°或170°時，△AOQ的面積最大．

【解析】

試題（1）首先根據已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切線的性質得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；

（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

試題解析：（1）∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP＝80°+∠BOP，

∠BOP′＝∠POP′+∠BOP＝80°+∠BOP，

∴∠AOP＝∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中，，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP＝BP′；

（2）連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，

∵AT與⊙O相切，∴∠ATO＝90°，

∴AT==8，

∵×OA×TH＝×AT×OT，

∴×10×TH＝×8×6，解得：TH＝，

∴點T到OA的距離為；

（3）如圖，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大，理由如下：

當Q點在優弧左側上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ+∠AOB＝90°+80°＝170°，

當Q點在優弧MN右側上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ－∠AOB＝90°－80°＝10°，

綜上所述：當∠BOQ的度數為10°或170°時，△AOQ的面積最大.