Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，

3

）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_△ACD=

3

6

，求點C的坐標；
（3）在第一象限內是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入，利用待定系數法即可求出答案；
（2）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設點C的坐標為（x，-

3

3

x+

3

），那么OD=x，AD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，利用三角形的面積公式列出關于x的方程，解方程即可，但要注意x的取值；
（3）因為∠AOB=90°，所以以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似需分三種情況進行討論：①當∠OBP=90°時，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②當∠OPB=90°時，過點O作OP⊥BC于點P，過點P作PM⊥OA于點M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，

3

），
∴

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

3

x+

3

；

（2）設點C的坐標為（x，-

3

3

x+

3

），則0≤x≤3，OD=x，AD=OA-OD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，
∵S_△ACD=

3

6

，
∴

1

2

（3-x）（-

3

3

x+

3

）=

3

6

，
整理，得x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），
∴C的坐標為（2，

3

3

）；

（3）以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似時，分三種情況：
①當∠OBP=90°時，如圖．
若△BPO∽△OAB，則∠BPO=∠OAB=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
若△BOP∽△OAB，則∠BOP=∠OAB=30°，BP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
②當∠OPB=90°時，如圖．
過點O作OP⊥BA于點P，過點P作PM⊥OA于點M．
若△PBO∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；
若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）；
③當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合所述，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．

點評：本題是一次函數綜合題，考查了用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，解直角三角形，相似三角形的有關知識，難度適中．運用分類討論、數形結合、方程思想是解題的關鍵．