Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，點C的坐標為（-9，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=2，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，是否存在點P，使以O、E、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BF⊥x軸于F，在Rt△BCF中，已知∠BCO=45°，BC=6，解直角三角形求CF，BF，確定B點坐標；
（2）過點D作DG⊥y軸于點G，由平行線的性質得出△ODG∽△OBA，利用相似比求DG，OG，確定D點坐標，由已知得E點坐標，利用“兩點法”求直線DE的解析式；
（3）存在．由已知的OE=2，分別以O、E為圓心，2為半徑畫弧，與直線DE相交，或作線段OE的垂直平分線與直線DE相交，交點即為所求．
解答：解：（1）過點B作BF⊥x軸于F，…（1分）
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=6，…（1分）
∵C 的坐標為（-9，0），
∴AB=OF=3，
∴點B的坐標為（-3，6）；…（1分）

（2）過點D作DG⊥y軸于點G，…（1分）
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵===，AB=3，OA=6，
∴DG=2，OG=4，…（1分）
∴D（-2，4），E（0，2），
設直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴，
∴，…（1分）
∴直線DE解析式為y=-x+2； …（1分）

（3）OP₁=OE，△EOP₁為等腰三角形，P₁（2，0）
P₂E=P₂O，△OP₂E為等腰三角形，P₂（1，1）
EO=EP₃，△OEP₃為等腰三角形，P₃（，2- ）
EO=EP₄，△OEP₄為等腰三角形，P₄（-，2+ ）
P₃，P₄在直線DE上，P₃在E點右下側，P₄在E點左上側．
存在P₁（2，0）、P₂（1，1）、P₃（，2-）、P₄（-，2+）…（3分）
（寫對一個點得1分，寫對兩個點或三個點得2分）
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是通過作輔助線，解直角三角形，證明三角形相似，確定相關線段的長和點的坐標，得出直線解析式，再根據等腰三角形的性質，分類求P點坐標．