Question

如圖所示，在直角坐標系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標為A（0，6），B（2，4），C（4，6），D（2，8）．動點M在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D向終點D勻速運動，速度為每秒

2

個長度單位，同時動點N以每秒1個單位長度的速度從點P（1，0）出發沿x軸向終點Q（7，0）勻速運動，設兩點運動的時間為t秒．
（1）求線段AB的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）當點M在邊AB上運動時，△OMN的面積為S，試求出S關于t的函數關系式及t的取值范圍，并指出當t為何值時，S有最大值．
（4）兩動點M、N在運動過程中，OM與MN能否相等？若能，直接寫出（不要解答過程）所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數法求出直線AB的解析式，那么線段AB的解析式就是直線AB在（0≤x≤2）之間的函數解析式．
（2）已知了A、B、C的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）在三角形OMN中，ON=1+t，關鍵是求出ON邊上的高，可過M作MF⊥y軸于F，由于△AFM和AEB都是等腰直角三角形，因此AF=FM=t，可求出OF=6-t，根據三角形的面積公式即可求出S，t的函數關系式．根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的t的值．
（4）本題分四種情況進行討論：
①當M在AB上運動時，②當M在BC上運動時，③M在CD上運動時，④M在AD上運動時．
以①③兩種情況為例進行說明：

①當M在AB上時，易知△AFM為等腰直角三角形，因此MF=t，若OM=MN，那么必有MF=

1

2

ON，即t=

1

2

（1+t），t=1；
③當M在CD上時，如圖，易知△CRM為等腰直角三角形，CM=

2

t-4

2

，因此CR=t-4，那么FM=CH-CR=8-t，由①知：FM=

1

2

ON，即8-t=

1

2

（1+t），解得t=5．
其他的兩種情況解法與①③完全相同．

解答：解：
（1）設線段AB的解析式為y=kx+b（0≤x≤2），
由題意得

b=6 2k+b=4

解之，得

k=-1 b=6

，
∴線段AB的解析式為y=x+6（0≤x≤2）
（2）由題意得

c=6 4a+2b+c=4 16a+4b+c=6

，
解之得

a= 1 2 b=-2 c=6

∴所求解析式為y=

1

2

x²-2x+6
（3）當M在邊AB上時，0≤t≤2，AM=

2

t，ON=1+t，分別過點B、M作y軸垂線，垂足分別為E、F，
如圖所示
，則OE=4，BE=2，AD=OA-OE=6-4=2
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴△AFM也為等腰直角三角形，AF=FM=t，OF=OA-AF=6-t，
∴S=

1

2

ON•OF=

1

2

（1+t）（6-t）=-

1

2

t²+

5

2

t+3
∴S關于t的函數關系式為S=-

1

2

t²+

5

2

t+3（0≤t≤2），
當0≤t≤2時，S隨著t的增大而增大；
所以當t=2時，S有最大值．
（4）能．當t=1或5時，OM與MN相等．

點評：本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、一次函數與二次函數解析式的確定以及二次函數的應用、等腰三角形的性質等知識點．綜合性較強，要注意（4）要分類討論不要漏解．