Question

小明參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：
（1）如圖①，等腰直角三角形的直角頂點C在直線l上滑動，分別過A、B作直線l的垂線，垂足為D、E．那么，點C在滑動過程中，線段DE、AD及BE的數量關系為

DE=BE+AD

；
（2）如圖②，△ABC中，AP⊥BC于P，分別以AB、AC為邊向外做正方形ABDE和正方形ACGF，再分別過E、F作直線AP的垂線，垂足為M、N．求證：PN=EM+PC；
（3）如圖③，若把圖②中的正方形ABDE和正方形ACGF改成矩形ABDE和矩形ACGF，且AB=mBD，CG=mAC，其它條件不變．請問（2）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形全等可以得出DC=BE，AD=CE，從而得出線段DE、AD及BE的數量關系．
（2）利用正方形的性質證明△MEA≌△PAB和△FNA≌△APC，從而得出結論PN=EM+PC．
（3）根據三角形相似可以得出PN=m（EM+PC），從而得出結論不成立．

解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADE=∠BED=90°，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD．
故答案為：DE=BE+AD．

（2）證明：∵四邊形ABDE和四邊形ACGF都是正方形，
∴AE=AB，∠EAB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA≌△APB，
∴EM=AP．
同理可證：△FNA≌△APC，
∴AN=PC．
∵PN=AN+AP，
∴PN=EM+PC．

（3）解：結論不成立，有PN=m（EM+PC）．
∵四邊形ABDE和四邊形ACGF是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA∽△APB，
∴

AP

EM

=

AB

BD

=m，
∴AP=mEM．
同理可得△FNA∽△APC，
∴

AN

PC

=

CG

AC

，
∴AN=mPC，
∵PN=PA+NA，
∴PN=m（EM+PC）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質及正方形的性質的運用．