Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=，tan∠AOC=，點B的坐標為（m，-2）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求一次函數的解析式；
（3）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）中，因為OA=，tan∠AOC=，則可過A作AE垂直x軸，垂足為E，利用三角函數和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，從而可知A（3，1），又因點A在反比例函數y=的圖象上，由此可求出開k=3，從而求出反比例函數的解析式．
（2）中，因為一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A，B兩點，點B的坐標為（m，-2）．所以3=-2x．
即m=-，B（-，-2）．然后把點A、B的坐標代入一次函數的解析式，得到關于a、b的方程組，解之即可求出a、b的值，最終寫出一次函數的解析式．
（3）因為在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，，而點C、D分別是一次函數y=x-1的圖象與x軸、y軸的交點，因此有C（，0）、D（0，-1）．OC=，OD=1，DC=．
進而可求出PD=，OP=．寫出點P的坐標．
解答：解：（1）過A作AE垂直x軸，垂足為E，
∵tan∠AOC=，
∴OE=3AE
∵OA=，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴點A的坐標為（3，1）．
∵A點在雙曲線上，
∴，
∴k=3．
∴雙曲線的解析式為．

（2）∵點B（m，-2）在雙曲線上，
∴-2=，
∴m=-．
∴點B的坐標為（-，-2）．
∴，∴
∴一次函數的解析式為y=x-1．

（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=x-1上，
∴C，D的坐標分別是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=，OD=1，
∴DC=．
∵△PDC∽△CDO，
∴，
∴PD=
又OP=DP-OD=
∴P點坐標為（0，）．
點評：此類題目往往和三角函數相聯系，在考查學生待定系數法的同時，也綜合考查了學生的解直角三角形、相似三角形的知識，是數形結合的典型題例，它的解決需要學生各方面知識的靈活運用．