Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E為梯形內一點，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到△DCF，連EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，求DM：MC的值．

Answer 1

分析：由旋轉可以得出△BEC≌△DFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=3，DD=BC=5，∠BEC=∠DFC=90°，由勾股定理就可以求出CD的值，進而得出CE∥DF，就有△CEM∽△DFM，就可以求出CM，DM的值，從而得出結論．

解答：解：∵BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到△DCF，
∴△BEC≌△DFC，∠ECF=90°，
∴EC=CF=3，DF=BC=5，∠BEC=∠DFC=90°．
在Rt△DFC中，由勾股定理，得
DF=4．
∵∠DFC=90°，
∴∠DFC+∠ECF=180°，
∴EC∥DF，
∴△CEM∽△DFM，
∴

EC

DF

=

CM

DM

，
∴

3

4

=

CM

DM

即DM：MC=

4

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質的運用，全等三角形的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，平行線的判定及性質的運用，解答時證明三角形相似是關鍵．