Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D.以AB上一點O為圓心作⊙O，使⊙O經過點A和點D.

（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AC＝3，∠B＝30°，設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD，BE與劣弧所圍成的陰影部分的面積（結果保留根號和）。

Answer 1

【答案】（1）直線BC是⊙O的切線；（2）2-

【解析】

(1) 連接OD, 根據平行線判定推出OD//AC, 推出OD⊥BC, 根據切線的判定推出即可;

(2) 根據含有30角的直角三角形的性質得出OB=2OD=2r, AB=2AC=3r, 從而求得半徑r的

值,根據S陰影=SΔODB-SΔODE求出答案即可.

（1）解：連接OD

∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA

又AD平分∠BAC

∵∠OAD=∠CAD

∴∠ODA=∠CAD ∴AC∥OD

又∠C=90° ∴OD⊥BC

又點D在⊙O上

∴直線BC是⊙O的切線

（2）在RtΔACB中，∠B=30°∴AB=2AC=6

設⊙O半徑為r，則OD=r，OA=r，OB=AB-OA=6-r

在RtΔODB中，∠B=30°∴OB=2OD ∴6-r=r

得r=2，BD=2,∠BOD=60°

S陰影=SΔODB-SΔODE=2-