Question

如圖：有100m長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600㎡，在場地的北面有一堵長50m的舊墻，有人用這些籬笆圍出一個長40m，寬10m的倉庫，但面積只有40×10=400（㎡）不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？你能設計出最優方案嗎？

Answer 1

【答案】分析：是單獨圍還是利用舊墻圍？所以需分類討論．分別列式表示面積，運用函數性質確定方案，單獨圍時最佳方案與利用舊墻時的最佳方案進行比較，最后得結論．
解答：解：設矩形的寬為xm，則長為（50-x）m，面積為S=x（50-x）m²，
（1）若面積恰為600㎡時，
則有x（50-x）=600
解得：x₁=20，x₂=30，
則長為30m或20m，
故取長為30m，寬為20m，符合設計方案的要求；

（2）若想利用籬笆獨立做一個矩形倉庫，其最大面積為：
S=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
所以當矩形長和寬均取為25m時，
面積最大可達625m²，此時矩形為正方形，比前一種方案更好；

（3）若利用舊墻為一邊，
設矩形的寬為xm，
則矩形面積S=x（100-2x），
因為墻長50m，
所以100-2x≤50，
若S=600m²，則有x（100-2x）=600，
解得，，
由100-2x≤50得x≥25，
故取，
即若利用舊墻，取矩形寬為也是符合方案要求的一種設計，
此時最大面積為：
S=x（100-2x）=-2x²+100x=-2（x-25）²+1250，
即若取矩形寬為25，長為50，則面積可達1250m²．
因此：要想設計的倉庫面積最大，在利用現有條件前提下，最優設計方案是利用舊墻，取矩形寬為25m，此時面積達到1250m²．
點評：此題運用分類討論的思想解決方案設計問題，訓練學生思維的嚴密性，很有創意．