Question

如圖，正方形ABCD內有兩條相交線段MN，PQ，點M，N，P，Q分別在邊AB，CD，BC上．墨墨認為：若MN=PQ，則MN⊥PQ；茗茗認為：若MN⊥PQ，則MN=PQ．你認為（　　）

A．墨墨說得對

B．茗茗說得對

C．兩個人說的都對

D．兩個人說的都不對

Answer 1

分析：過點M作ME⊥CD于E，過點P作PF⊥BC于F，根據正方形的性質可得ME=PF，且ME⊥PF，然后利用“HL”證明Rt△MNE和Rt△PQF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再根據∠2+∠3=∠1+∠3，求出MN⊥PQ，判斷出墨墨的說法正確；根據同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角角邊”證明△MNE和△PQF全等，再根據全等三角形對應邊相等可得MN=PQ，判斷出說法正確，從而得解．

解答：解：如圖，過點M作ME⊥CD于E，過點P作PF⊥BC于F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ME=PF，且ME⊥PF，
在Rt△MNE和Rt△PQF中，

MN=PQ ME=PF

，
∴Rt△MNE≌Rt△PQF（HL），
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴MN⊥PQ，
故墨墨的說法正確；
∵ME⊥PF，
∴∠1+∠3=30°，
∵MN⊥PQ，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△MNE和△PQF中，

∠1=∠2 ∠MEN=∠PFQ=90° ME=PF

，
∴△MNE≌△PQF（AAS），
∴MB=PQ，
故茗茗的說法正確，
綜上所述，兩個人說的都對．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．