Question

如圖，已知⊙O的半徑為6 cm，射線PM經過點O，OP=10 cm，射線PN與⊙O相切于點Q．A、B兩點同時從點P出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動．設運動時間為t s．當t=_______時，直線AB與⊙O相切．

Answer 1

0.5s或3.5s.

【解析】

試題分析：首先根據PN與⊙O相切于點Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根據勾股定理就可以求出PQ的值；再過點O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．

試題解析：連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點Q，

∴OQ⊥PN，

即∠OQP=90°，

∵OP=10，OQ=6，

∴PQ=8（cm），

過點O作OC⊥AB，垂足為C，

∵點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，

∴PA=5t，PB=4t，

∵PO=10，PQ=8，

∴

∵∠P=∠P，

∴△PAB∽△POQ，

∴∠PBA=∠PQO=90°，

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，

∴四邊形OCBQ為矩形．

∴BQ=OC．

∵⊙O的半徑為6，

∴BQ=OC=6時，直線AB與⊙O相切．

①當AB運動到如圖1所示的位置，

BQ=PQ-PB=8-4t，

∵BQ=6，

∴8-4t=6，

∴t=0.5（s）．

②當AB運動到如圖2所示的位置，

BQ=PB-PQ=4t-8，

∵BQ=6，

∴4t-8=6，

∴t=3.5（s）．

∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切．

考點：切線的性質．