Question

如圖，已知正方形ABCD，點P為射線BA上的一點（不和點A，B重合），過P作PE⊥CP，且CP＝PE．過E作EF∥CD交射線BD于F．
【小題1】若CB＝6，PB＝2，則EF＝       ；DF＝      ；

【小題2】請探究BF，DG和CD這三條線段之間的數量關系，寫出你的結論并證明；
【小題3】如圖2，點P在線段BA的延長線上，當tan∠BPC＝       時，四邊形EFCD與四邊形PEFC的面積之比為．

Answer 1

【小題1】EF＝6；DF＝
【小題2】BF＋2DG＝CD．
理由如下：如圖⑴，連接AE，AC．

∵△EPC為等腰Rt△；四邊形ABCD為正方形，
∴．
∠ECP＝∠ACB＝45°，
∴∠ECA＝∠PCB．
∴△EAC∽△PCB．  ………………………4分
∴∠EAC＝∠PBC＝90°．
∵∠BAC＝∠ABD＝45°，
∴∠EAB＋∠ABF＝180°．
∴EA∥BF．
又AB∥EF，
∴四邊形EABF為平行四邊形．………………5分
∴EF＝AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴△EFG∽△CDG ．
∴．………………………………………………………6分
∴DF＝2GF＝2DG．……………………………………………………7分
∴BF＋2DG＝BD＝CD．……………………………………………8分
【小題3】tan∠BPC＝或．…………………………………………………10分解析:
本題綜合了正方形、平行四邊形、三角形相似、角的正切值的知識，綜合性較強。