Question

（2012•阜新）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論；
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．
（2）當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立？不必說明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

Answer 1

分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據三角形內角和定理證得∠BHC=90°；
（2）根據結論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時，該結論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適．

解答：解：（1）①結論：BD=CE，BD⊥CE；
②結論：BD=CE，BD⊥CE…1分
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分
在△ABD與△ACE中，
∵

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE…1分
延長BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF與△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE…3分

（2）結論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理． 注意：在全等的判定中，沒有AAA（角角角）和SSA（邊邊角）（特例：直角三角形為HL，因為勾股定理，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS），因為這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線（或高、角平分線）分別對應相等的兩個三角形也全等．