Question

（2013•鎮江模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

1

2

x+1分別交坐標軸于A，B兩點，以OA，OB為邊作矩形OBCA，點E是線段OB上的一個動點（點E與端點B，O不重合），設OE=t，以AE為邊作矩形AEFG，使點G落BC在的延長線上．
（1）用含有t的代數式表示點F的坐標；
（2）連接BF，設∠ABF=θ，隨著點E在線段OB上的運動，θ的大小是否保持不變？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形OBCA和四邊形AEFG是矩形以及結合角之間的等量關系，證明△AOE∽△ACG，作FH⊥x軸于H，由已知可得∠EAG=∠OAC=∠AEF=90°，進而證明△EHF≌△ACG，于是求出EH和FH，點F的坐標；
（2）由題設可知A（0，1），B（2，0），即OA=1，OB=2，BH=t，證明出△AOB∽△BHF，進一步證明出θ=90°，是定值．

解答：解：（1）∵四邊形OBCA和四邊形AEFG是矩形，
∴∠OAC=∠EAG=90°，
∴∠OAE+∠EAC=∠CAG+∠EAC，
∴∠OAE=∠CAG，
∴△AOE∽△ACG，
∴CG=2t，
作FH⊥x軸于H，
由已知可得∠EAG=∠OAC=∠AEF=90°，
即∠FEH=∠OAE=∠CAG，
∵G在射線BC上，
∴∠ACG=∠EHF=90°，又EF=AG，∠FEH=∠CAG，
∴△EHF≌△ACG，
∴EH=AC=2，FH=CG=2t，
∴F（2+t，2t）；

（2）點E在線段OB上的運動過程中，θ的大小總保持不變，
理由是：由題設可知A（0，1），B（2，0），即OA=1，OB=2，BH=t，
又∵∠AOB=∠FHB=90°，

AO

OB

=

1

2

，

BH

FH

=

1

2

，
∴△AOB∽△BHF，
∴∠ABH=∠BFH，
∴θ=90°，
即θ的大小保持不變．

點評：本題主要考查一次函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質定理，第二問的證明有一定的難度，總的來說此題是一道非常不錯的習題．