Question

如圖．在平面直角坐標系中，邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點E．

（1）求證：△OAD≌△EAB；

（2）求過點O、E、B的拋物線所表示的二次函數解析式；

（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，其關于直線BF的對稱點在x軸上？若有，求出點P的坐標；

（4）連接OE，若點M是直線BF上的一動點，且△BMD與△OED相似，求點M的坐標．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如答圖1所示，連接ID，IO，

∵I為△BOD的外心，∴IO=ID。

又F為OD的中點，∴IF⊥OD。

∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°。

又∠DEF=∠AEB，∴∠ EDF=∠EBA。

又∵DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，

∴△OAD≌△EAB（AAS）。

（2）由（1）知IF⊥OD，又BF為中線，

∴BO=BD=AB=2。∴OA=BO﹣AB=。

由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=。

∴E（，），B（2，0）。

設過點O、B、E的拋物線解析式為y=ax²+bx，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（3）∵直線BD與x軸關于直線BF對稱，∴拋物線與直線BD的交點，即為所求之點P。

由（2）可知，B（2，0），D（，），可得直線BD的解析式為y=﹣x+2。

∵點P既在直線y=﹣x+2上，也在拋物線上，

∴，解得：x=2或x=。

當x=2時，y=﹣x+2=0；當x=時，y=﹣x+2=，

∴點P的坐標為（2，0）（與點B重合），或（，）。

（4）∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，

∴∠EBA=22.5°。

由（1）知∠ODA=22.5°，

∴∠DOA=67.5°，OA=EA。

∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°

∴△OED是頂角為135°的等腰三角形。

若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形。

如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃。

∵DM₁=DB=2，OA=，∴M₁（，）。

由（1）知B（2，0），E（，），故直線BE的解析式為y=（1﹣）x﹣2+。

∵I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分線x=1與OD的垂直平分線BE的交點，

∴I（1，﹣1），即M₃（1，﹣1）．

∴符合題意的M點的坐標為（，），（1，﹣1）。

【解析】

試題分析：（1）連接ID，IO，通過證明IF⊥OD而得到∠FED=∠EBA；又由DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，即可由AAS證得△OAD≌△EAB；

（2）求出點B、E的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式。

（3）由于直線BD與x軸關于直線BF對稱，則拋物線與直線BD的交點即為所求之點P。分別求出拋物線與直線BD的解析式，聯立解方程，即可求出交點（點P）的坐標。

（4）首先證明△OED是頂角為135°的等腰三角形，若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃。