Question

閱讀以下的例題求解：例：已知x＞0，求函數y=x+的最小值．
解：令a=x，b=，則有a+b≥2，得y=x+≥2=4，當且僅當x=時，即x=2時，函數有最小值，最小值為4．
根據上面回答下列問題：
①已知x＞0，則當x=______時，函數y=2x+取到最小值，最小值為______；
②用籬笆圍一個面積為100m²的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是多少？
③已知x＞0，則自變量x取何值時，函數取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

①∵令a=2x，b=，則有a+b≥2，
∴y=2x+≥2=2，當且僅當2x=時，取等號，
∴x=時，函數有最小值，最小值為2．
故答案為：，2；
②設這個矩形的長為xm，籬笆周長是ym，
∵面積為100m²，
∴寬為m，
∴y=2（x+）≥4=40，當且僅當x=時，即x=10時，函數有最小值，最小值為40，
∴這個矩形的長為10m、寬為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是40m．
③∵y===，
又∵x+≥2=6，當且僅當x=時，x+有最小值，
∵x＞0，
∴當x=3時，x+有最小值，最小值為6，
∴此時y有最大值，最大值為：y==；
∴當x=3時，函數取到最大值，最大值為．
分析：①根據例題，可得y=2x+≥2=2，當且僅當2x=時，函數y=2x+取到最小值，最小值為2；
②首先設這個矩形的長為xm，籬笆周長是ym，可得函數解析式為：y=2（x+），根據例題，即可求得答案；
③原函數可變形為：y=，由x+有最小值，即可求得自變量x取何值時，函數取到最大值，并求得最大值．
點評：此題考查了幾何不等式的應用．此題難度較大，解題的關鍵是理解例題，并能借助于例題求解．