Question

已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
（Ⅰ）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；
（Ⅱ）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，設OB′=x，OC=y，試寫出y關于x的函數解析式，并確定y的取值范圍；
（Ⅲ）若折疊后點B落在邊OA上的點為B″，且使B″D∥OB，求此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為折疊后點B與點A重合，那么BC=AC，可先設出C點的坐標，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根據勾股定理即可求出C點的縱坐標，也就求出了C點的坐標；
（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根據勾股定理得出x，y的關系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范圍；
（Ⅲ）根據（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，應該先得出OB″，OC的關系，知道OA，OB的值，那么可以通過證Rt△COB″∽Rt△BOA來實現．∠B″CO和∠CB″D是平行線B″D，OB的內錯角，又因為∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出兩三角形相似，得出OC，OB″的比例關系，然后根據（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C點的坐標了．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，折疊后點B與點A重合，則△ACD≌△BCD．
設點C的坐標為（0，m）（m＞0），則BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，解得m=．
∴點C的坐標為（0，）；

（Ⅱ）如圖②，折疊后點B落在OA邊上的點為B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C²=OC²+OB′²．
∴（4-y）²=y²+x²，
即y=-x²+2．
由點B′在邊OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y=-x²+2（0≤x≤2）為所求．
∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴y的取值范圍為≤y≤2；

（Ⅲ）如圖③，折疊后點B落在OA邊上的點為B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
∴，
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
設OB″=x（x＞0），則OC=2x．
由（Ⅱ）的結論，得2x=-x²+2，
解得x=-8±4．
∵x＞0，
∴x=-8+4．
∴點C的坐標為（0，8-16）．
點評：本題綜合考查了運用軸對稱、相似三角形的性質和勾股定理的知識進行計算的能力．折疊型動態問題是近年來中考試題中的熱點問題，它可以考查學生的綜合能力，如想象能力、動手操作及創新意識能力等等，對于這類問題，通常從原圖中選取滿足條件的基本圖形進行分析、解決問題．