Question

問題：如圖，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．試探究PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值．小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．
請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值；（要有具體過程）
（2）若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD≌矩形BEFG”其它條件不變，畫圖試探求線段PG與PC的關系．

Answer 1

分析：（1）利用角邊角證明△GFP≌△HDP，證得GP=HP，GF=HD，進而利用正方形的性質可得CH=CG，即可得所求；
（2）由（1）同法可得GP=HP，GF=HD，根據所給矩形全等可得CH=CG，即可得所求．

解答：解：（1）如圖1，當點A，B，E在同一條直線上時，有結論：PG⊥PC，PG=PC．
延長GP交DC與點H．
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP．
由題意知DC∥AE，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD、BEFG是正方形，
∴CD=CB，GB=GF．
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，GP=HP，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）如圖2，當點A，B，E在同一條直線上時，有結論：PG⊥PC，PG=PC
延長GP交DC延長線于點H．
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP．
由題意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵矩形ABCD≌矩形BEFG，
∴CD=GB，CB=GF，
∴CH=CG
又∵∠HCG=90°，GP=HP，
∴PG⊥PC，PG=PC．

點評：綜合考查了正方形的性質及全等三角形的判定與性質；采用類比的思想做相類似的問題是解決本題的關鍵；利用證明三角形全等的方法求解是解決本題的基本思路．