Question

已知二次函數y=x²-2mx+4m-8
（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．
（2）以拋物線y=x²-2mx+4m-8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
（3）若拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出二次函數的對稱軸x=m，由于拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可以求出m的取值范圍．
（2）在拋物線內作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，得到△AMN的面積是m無關的定值．
（3）當y=0時，求出拋物線與x軸的兩個交點的坐標，然后確定整數m的值．
解答：解：（1）二次函數y=x²-2mx+4m-8的對稱軸是：x=m．
∵當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，
而x≤2應在對稱軸的左邊，
∴m≥2．

（2）如圖：頂點A的坐標為（m，-m²+4m-8）
△AMN是拋物線的內接正三角形，
MN交對稱軸于點B，tan∠AMB=tan60°==，
則AB=BM=BN，
設BM=BN=a，則AB=a，
∴點M的坐標為（m+a，a-m²+4m-8），
∵點M在拋物線上，
∴a-m²+4m-8=（m+a）²-2m（m+a）+4m-8，
整理得：a²-a=0
得：a=（a=0舍去）
所以△AMN是邊長為2的正三角形，
S_△AMN=×2×3=3，與m無關；

（3）當y=0時，x²-2mx+4m-8=0，
解得：x=m±=m±，
∵拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，
∴（m-2）²+4應是完全平方數，
∴m的最小值為：m=2．
點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）利用二次函數的對稱軸確定m的取值范圍．（2）由點M在拋物線上，求出正三角形的邊長，計算正三角形的面積．（3）根據拋物線與x軸的交點的橫坐標都是整數，確定整數m的值．