Question

【題目】已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AC平分∠BAD，∠ACD＝30°

（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；

（2）如圖2，點E在邊BA的延長線上，在邊BC上取一點F，連接EC、EF且EC＝EF，求證：BF＝AE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AF，取AF的中點G，連接BG并延長交線段EC于M，交線段AD于R，過點A做AN∥EC交線段BR于N，若GN＝2，EM＝5，求CM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CM＝9．

【解析】

（1）根據三個角是60°的三角形是等邊三角形即可證明．

（2）如圖2中，作FM∥AC交AB于M．證明△BMF是等邊三角形，△EMF≌△CAE（AAS）即可解決問題．

（3）如圖3中，連接AM，ER．證明△AGR≌△FGB（AAS），△EBR≌△BEF（SAS），再證明△AMN是等邊三角形，證明∠ANR≌△AME（SAS），推出EM=RN=5，證明BR=EF=EC=7即可解決問題．

（1）證明：∵∠D=90°，∠ACD=30°，

∴∠CAD=60°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAB=∠CAD=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA=60°，

∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形．

（2）證明：如圖2中，作FM∥AC交AB于M．

∵MF∥AC，

∴∠BMF=∠BAC=60°，∠BFM=∠BCA=60°，

∴∠B=∠BMF=∠BFM=60°，

∴△BMF是等邊三角形，

∴MF=BF，∠EMF=120°=∠CAE，

∵EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∴∠MFE=180°﹣60°﹣∠EFC=120°﹣∠EFC，

∠AEC=180°﹣60°﹣∠ECB=120°﹣∠ECF，

∴∠MFE=∠AEC，在△EMF和△CAE中，

，

∴△EMF≌△CAE（AAS），

∴MF=AE，

∴BF=AE．

（3）解：如圖3中，連接AM，ER．

∵AR∥BF，

∴∠ARG=∠GFB，∠EAR=∠ABC=60°，

∵∠AGR=∠FGB，AG=GF，

∴△AGR≌△FGB（AAS），

∴AR=BF，RG=BG，

∵AE=BF，

∴AE=AR，

∴△AER是等邊三角形，

∴ER=AE=BF，∠BER=∠EBF=60°，

∵BE=EB，

∴△EBR≌△BEF（SAS），

∴∠BEF=∠EBR，EF=BR，

∵∠BEF=∠ACE，

∴∠ABM=∠ACM，

∴A，B，C，M四點共圓，

∴∠CMB=∠CAB=60°，

∴∠EMR=∠EAR=60°，

∴A，E，R，M四點共圓，

∴∠AMF=∠ARE=60°，

∵AN∥EC，

∴∠ANM=∠NMC=60°，∠NAM=∠AME=60°，

∴△AMN是等邊三角形，

∴AN=AM，

∵∠NAM=∠EAR=60°，

∴∠NAR=∠MAE，

∵AR=AE，

∴∠ANR≌△AME（SAS），

∴EM=RN=5，

∵GN=2，

∴GR=GB=2+5=7，

∴BR=EF=EC=14，

∴CM=EC﹣EM=14﹣5=9．